DE UNA NUEVA ECUACIÓN PARA LA DOCEAVA POSICIÓN DE FIBONACCI Y SU RECURRENCIA ÁUREA ANGULAR
JAVIER
GRISALES HERRERA
Una
constante dorada dentro de una constante dorada dentro de una constante dorada
[…]
La sucesión de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610…Fn)
es un conjunto de longitud n de infinitos elementos, donde dichos elementos se
rigen por la ecuación de recurrencia de Fibonacci dada por: Fn = Fn-1
+ Fn-2 . Además, el cociente de dos números de Fibonacci consecutivos
Fn/Fn-1 crece en una proporción constante cuyo límite
asintótico cuando n tiende a infinito es un número irracional llamado
proporción áurea o número phi ϕ.
Límn->∞ Fn/Fn-1
= ϕ =
1,6180339887498948482045868343656…
Por otra parte, esta proporción permite calcular el k-ésimo
término de Fibonacci mediante la fórmula:
F(k) = round(ϕk/root5)
Ahora bien, he descubierto una nueva ecuacion para las
doceavas posiciones ordinales de la sucesión de Fibonacci que presentan una
propiedad de recurrencia angular asociada a ciertos valores para los cuales en
la función coseno, los ángulos que forman geométricamente son múltiplos pares
de 9, y por lo tanto, arrojan al número áureo como conjunto imagen. Estos valores
resultan ser todos los múltiplos de 12 de dichas posiciones ordinales en la sucesión (excepto los múltiplos de 5).
Es decir, los números de Fibonacci ubicados en las posiciones ordinales F12k
de la sucesión, presentan la
característica de que al entrar en la función coseno, la imagen es igual a dos
valores únicos del número áureo, que como explicaré a continuación también se
clasifican según la última cifra de dicho múltiplo 12k.
Proposición 1.1: obténgase ahora el coseno de las doceavas
posiciones ordinales de la sucesión de Fibonacci. Es decir, el k-ésimo número
de Fibonacci de la forma F12k (múltiplos de las posiciones ordinales 12) y
se verifica que las imágenes son dos valores constantes del número áureo (-ϕ y ϕ-1), según la última
cifra par (2, 4, 6, 8) de dicho múltiplo. Exceptuando aquellos que sean
múltiplos de 5.
F(k)= 2 Cos [F12k] = 2 Cos [round(ϕ12k/root5) ]° =
Si la última cifra del ordinal es 4, la
imagen es: -
Si la última cifra del ordinal es 8, la
imagen es: ϕ-1
Si la última cifra del ordinal es 2, la
imagen es: ϕ-1
Si la última cifra del ordinal es 6, la
imagen es: -ϕ
De manera
similar, en mi anterior fórmula donde al alimentar la función seno con números
primos p>5. El conjunto imagen estaba formado por dos valores constantes del
número áureo de la siguiente forma:
F(p) = 2 sin
[ 2p-1 (10p-1 -1)]° =
Si la última
cifra del primo es 1, la imagen es: ± ϕ-1
Si la última
cifra del primo es 3, la imagen es: ± ϕ
Si la última
cifra del primo es 7, la imagen es: ± ϕ
Si la última
cifra del primo es 9, la imagen es: ± ϕ-1
Ahora analicemos dichos
resultados:
La función seno nos permite
llegar al número áureo al alimentar el dominio de la función con números primos
y dichas imágenes son únicas y dependen de la última cifra de cada primo p>5
(1,3,7,9).
La función coseno nos permite
llegar al número áureo al alimentar el dominio de la función con las doceavas
posiciones ordinales de la sucesión de Fibonacci y dichas imágenes son únicas y
dependen de la última cifra del ordinal (2,4,6,8).
Prosigamos nuestro análisis,
según estos resultados el número áureo existe dentro de la secuencia de los
números primos para la función seno y
dentro de las doceavas posiciones ordinales de la sucesión de Fibonacci para la
función coseno. De tal manera, que se
obtienen imágenes únicas del número áureo, según la última cifra par o impar de
cada elemento del dominio (IMPARES PARA SENO Y PARES PARA COSENO QUE SE OBTIENE
AL DUPLICAR EL RANGO SEGÚN LOS ÁNGULOS ÁUREOS QUE SON PARES MÚLTIPLOS DE 9).
Avanzando en nuestro
razonamiento, se infiere naturalmente que el paralelismo entre ambas funciones
determina que existe un orden total entre la primalidad y la proporción áurea.
En conclusión, la ordinalidad y la última cifra de cada elemento del dominio del
conjunto P de los primos y del conjunto F de Fibonacci nos indica que el número
áureo agrupa a los números primos en 4 familias y a los Fibonacci también.
En definitiva, cabría
preguntarse: ¿Existe alguna condición áurea que determine la ordinalidad de la
primalidad a partir de la última cifra de cada primo p dado? Y si es así, ¿Qué
relación existe entre el conjunto P de los primos y el conjunto F de los
Fibonacci para establecer un orden total y definitivo entre ambos?
BIBLIOGRAFÍA
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