domingo, 7 de enero de 2018





DE LA EXISTENCIA DE 9 NUEVAS IDENTIDADES ÁUREAS CON BASE PRIMA Y UNA CONSTANTE PRIMORIAL

JAVIER GRISALES HERRERA
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''2 es a 3 como 3 es a 5 como 5 es a 8 como 8 es a 13 como 13 es a 21 (…), en una espiral de crecimiento áureo que se cumple para plantas, animales y números primos. Ahora determina la proporción áurea entre los números primos, según la medida de sus ángulos cuando giran formando arcos dorados con los ceros no triviales de Riemann al nivel del mar en la estrella de 5 puntas, mientras las olas curvadas golpean los límites de la playa zeta''.   Xavier Goldenprime, Año 18.

‘’El número áureo conecta todo con todo, es la llave de oro que abre todas las cerraduras primas y conecta al Universo físico con el Universo matemático’’.  Xavier Artprime, Año 17

Ya sabemos que al abordar el conjunto P de los números primos nos encontramos con incontables propiedades aritméticas, geométricas, logarítmicas, algebraicas, analíticas, etc. También, que dicho conjunto es la piedra angular del teorema fundamental de la aritmética (todo número entero es primo o producto de primos y su factorización en factores primos es única) y su importancia llega hasta la Hipótesis de Riemann (La parte real de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es siempre 1/2). El hecho de que se desconozca todavía la distribución exacta de los números primos entre los números naturales los hace más interesantes y deja claro que la fórmula de Gauss,  demostrada por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896, que establece que un numero entero x dividido entre la cantidad de números primos menores que x,  para valores de x muy grandes da como cociente asintótico el logaritmo natural de x. Este resultado es conocido como teorema fundamental de los números primos y es uno de los teoremas más importantes en la historia de las matemáticas y de la teoría de números.

En los dos artículos anteriores, ya publiqué y patenté una fórmula que utiliza la función seno para identificar primos y arroja como resultado al número áureo phi (ϕ=1.618033…) cuando el número entero dado p es primo utilizando el período decimal de los recíprocos de 1/p. En el segundo artículo, utilizando el módulo 90 demostré la existencia de 4 familias áureas de números primos clasificadas según el último dígito de cada primo (1,3,7,9) y donde cada familia está asociada a uno y solo un ángulo áureo (18°, 36°, 54°, 72°). Lo cual, demuestra un orden específico para los números primos dado su última cifra y su geometría senoidal dentro de la recta real R.

En este tercer artículo, voy a exponer algunas constantes áureas nuevas que descubrí y que constituyen identidades áureas para cualquier potencia entera k>1 en la función seno y coseno con argumentos de bases primas, específicamente el 2 y el 3 que generan a todos los demás primos. Lo cual constituye, una geometría aritmética y trigonométrica que presenta una profunda relación con el número áureo phi, que es la proporción geométrica entre la parte y el todo de un segmento de recta.

Proposición 1.1:   Todo número primo mayor que 3 es elemento de la sucesión 6k+1 y de la sucesión 6k-1. Esto significa que todo numero primo se encuentra una unidad por encima o por debajo de algún múltiplo de 2 y de 3,  y de la función lineal f(x)=6k

Proposición 1.2: Las clases residuales módulo 6 de cualquier número primo mayor que 3 son 1 y -1.

6k≡1 (mód 6)  Primos de la forma 6k-1
6k≡-1 (mód 6) Primos de la forma 6k+1


CONSTANTES ÁUREAS DE BASE PRIMA 2 Y 3.

Existen valores reales que son constantes áureas o identidades áureas para el seno y coseno del ángulo doble de cualquier potencia entera positiva cuya base sean los dos primeros números primos 2 y 3.


Proposición 2.1: El seno del ángulo doble de las potencias enteras impares con k>0 de base 3 es igual a la mitad del número phi.

Proposición 2.2: El seno del ángulo doble de las potencias enteras pares de base 3 es igual a la mitad del recíproco del número phi.


Proposición 2.3: El seno del producto de las potencias enteras k>1 de base 2 y base 3 es igual a la mitad negativa de la raíz de 2- ϕ-1


Proposición 2.4: El coseno del ángulo doble de las potencias enteras pares k>1 de base 3 es igual a la mitad de la raíz de 2+ϕ   

Proposición 2.5: El coseno del ángulo doble de las potencias enteras impares k>1 de base 3 es igual a la mitad de la raíz de 2-ϕ-1

Proposición 2.6: El coseno del producto de las potencias enteras k>1 de base 2 y base 3 es igual a -ϕ/2



Proposición 2.7: El coseno del ángulo doble de las potencias enteras k>1 de base 6 es igual a ϕ-1/2


Proposición 2.8: El coseno del producto de las potencias enteras k>1 pares de base 2 y potencias impares k>1 de base 3 es igual a ϕ-1/2

f(k) = Cos [22k  32k+1] = ϕ-1/2


Proposición 2.9: El seno del producto de las potencias enteras k pares de base 2 y potencias impares k>1 de base 3 es igual a la mitad negativa de la raíz de 3+ ϕ-1

f(k) = Sin [22k  32k+1] = -(1/2)root (3+ϕ-1)= -(1/2)root (2+ϕ)


Demostración de la proposición 2.6:

Cos(6k)= Cos (6 6k)= Cos (2 3 6k)
Sabemos que el coseno del ángulo doble es:
Cos (2x)= Cos2x –Sen2x = Cos2x – (1-Cos2x) = 2Cos2x -1
Cos (2 3 6k)= 2 Cos2 (3 6k)-1
= 2 [4Cos3 (6k) – 3Cos (6k)]2 -1
=2 [4(-ϕ/2)3 – 3(-ϕ/2)]2 -1
=2 [-ϕ3/2 + 3ϕ/2]2 -1
=2 [-ϕ/2 (ϕ2 -3)]2 -1
=2 [ϕ2/4 (ϕ2 -3)2] -1
= (ϕ2/2) (ϕ+1-3)2 -1
= (ϕ2/2) (ϕ-2)2 -1
= (ϕ2/2) (ϕ-2) (ϕ-2) -1
= (1/2) (ϕ2-ϕ-2) (ϕ-2) -1
= (1/2) (ϕ +1 –ϕ -2) (ϕ-2) -1
= (-1/2) (ϕ-2) -1
=  -ϕ/2 +1-1 = -ϕ/2

UNA CONSTANTE PRIMORIAL

He encontrado una  constante asociada al seno de los primoriales. El primorial P# de un numero n se define como el producto de todos los números primos menores o iguales a n.

Proposición 3.0: El seno del primorial o productorio de todos los números primos menores que algun primo p muy grande es siempre igual  ± ½. 

Sin embargo, la demostración de esta identidad prima que yo postulo que se cumple para todo el conjunto P de los números primos requiere que la Hipótesis de Riemann sea probada primero. Lo cual todavía en el presente 2018 no ha sido posible.

Sea P#  = p1. p2. p2…pn

f(x)= Sin(P# ) = ± ½


https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sin+(2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41)+%3D+-1%2F2


  5: 30
  7: 210
 11: 2310
 13: 30030
 17: 510510
 19: 9699690
 23: 223092870
 29: 6469693230
 31: 200560490130
 37: 7420738134810
 41: 304250263527210
 43: 13082761331670030
 47: 614889782588491410
 53: 32589158477190044730
 59: 1922760350154212639070
 61: 117288381359406970983270
 67: 7858321551080267055879090
 71: 557940830126698960967415390
 73: 40729680599249024150621323470
 79: 3217644767340672907899084554130
 83: 267064515689275851355624017992790
 89: 23768741896345550770650537601358310
 97: 2305567963945518424753102147331756070
101: 232862364358497360900063316880507363070
103: 23984823528925228172706521638692258396210
107: 2566376117594999414479597815340071648394470
109: 279734996817854936178276161872067809674997230
113: 31610054640417607788145206291543662493274686990
127: 4014476939333036189094441199026045136645885247730
131: 525896479052627740771371797072411912900610967452630
137: 72047817630210000485677936198920432067383702541010310
139: 10014646650599190067509233131649940057366334653200433090
149: 1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410
151: 225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910
157: 35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870
163: 5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810
167: 962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270
173: 166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710
179: 29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158090
181: 5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614290
191: 1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329390
193: 198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910572270
197: 39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737190
199: 7799922041683461553249199106329813876687996789903550945093032474868511536164700810
211: 1645783550795210387735581011435590727981167322669649249414629852197255934130751870910
223: 367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212930
227: 83311209124804345037562846379881038241134671040860314654617977748077292641632790457335110
229: 19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740190



BIBLIOGRAFÍA













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