martes, 13 de febrero de 2018



DE 4 NUEVAS IDENTIDADES MODULARES CÍCLICAS ÁUREAS PRIMAS Y SUS 4 FAMILIAS ANGULARES ÚNICAS 


JAVIER GRISALES HERRERA
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«El Tao engendra al Uno,
el Uno engendra al Dos,
el Dos engendra al Tres.
El Tres engendra a los diez mil seres».
Lao TséTao Te King. Capitulo XLII

Cuando la primalidad va en bucles dentro de bucles dentro de bucles en ciclos áureos.
Los números primos no juegan a los dados.


Ya hemos visto hasta aquí, que existe una relación geométrica aritmética entre el conjunto P de los números primos y el conjunto F de los números de Fibonacci. Siendo estos últimos, generadores de una constante real llamada número áureo. Ahora voy a exponer 4 identidades generales nuevas que demuestran dicha relación de recurrencia entre los números primos p>5 y los doceavos números de Fibonacci.
Ahora veamos el siguiente análisis sobre la estructura cíclica de la sucesión de Fibonacci que explica el por qué existe la recurrencia en sus elementos y la interrelación inédita que descubrí en forma de 4 identidades doradas entre cada número primo p>5 y cada número de Fibonacci de la doceava posición ordinal.

BUCLES ÁUREOS O CICLOS ITERATIVOS EN LAS RAÍCES DIGITALES DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

Se ha encontrado que la sucesión de Fibonacci posee una estructura de bucles cíclicos e iterativos que se repiten cada 24 términos y que se demuestra al obtener las raíces digitales de cada k-ésimo término sumando los dígitos que los componen. Para lo cual, existe la siguiente fórmula que utiliza el módulo 9:

digital root(n) =  n-9 floor function[ (n-1)/9 ] = 1+[ n-1(mód 9)]

Hagamos una tabla comparativa:

n
Fn
Digital root
n
Fn
Digital root
1
1
1
13
233
8
2
1
1
14
377
8
3
2
2
15
610
7
4
3
3
16
987
6
5
5
5
17
1597
4
6
8
8
18
2584
1
7
13
4
19
4181
5
8
21
3
20
6765
6
9
34
7
21
10946
2
10
55
1
22
17711
8
11
89
8
23
28657
1
12
144
9
24
46368
9

n
Fn
Digital root
n
Fn
Digital root
25
75025
1
37
24157817
8
26
121393
1
38
39088169
8
27
196418
2
39
63245986
7
28
317811
3
40
102334155
6
29
514229
5
41
165580141
4
30
832040
8
42
267914296
1
31
1346269
4
43
433494437
5
32
2178309
3
44
701408733
6
33
3524578
7
45
1134903170
2
34
5702887
1
46
1836311903
8
35
9227465
8
47
2971215073
1
36
14930352
9
48
4807526976
9


Análisis de resultados:

Ø La sucesión de Fibonacci se repite en ciclos cada 24 números
Ø La raíz digital de la doceava posición siempre es 9
Ø Cada cuarto dígito es múltiplo de 3
Ø Después de cada 9 viene un dígito repetido, que es el complementario del que sigue al próximo 9.
Ø El ciclo iterativo de 24 números es:
{1,  1,  2,  3,  5,  8,  4,  3,  7,  8,  1,  9,  8,  8,  7,  6,  4,  1,  5,  6,  2,  8,  1, 9}

Ahora súmese término a término el ciclo de 24 números en dos bloques de 12 y obsérvese que todos suman 9 con su complementario en imagen especular.

1   1   2   3   5   8   4   3   7   8   1   9
8   8   7   6   4   1   5   6   2   1   8   9
9   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9   9

BUCLES O CICLOS ITERATIVOS EN LAS ÚLTIMAS CIFRAS DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

Según el portal web del profesor Ron Knott de la Universidad de Surrey en Reino Unido: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html#patt, también existen ciclos iterativos o bucles áureos según las últimas cifras de cada término de la sucesión de Fibonacci y son los siguientes:

Ø La última cifra se repite en ciclos de cada 60 números
Ø Las 2 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 300 números
Ø Las 3 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 1500 números
Ø Las 4 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 15,000 números
Ø Las 5 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 150,000 números

4 NUEVAS IDENTIDADES CÍCLICAS ANGULARES ÁUREAS PRIMAS

Ahora veamos lo nuevo, la existencia de 4 identidades generales nuevas que surgen al establecer las igualdades entre las dos fórmulas generales que ya publiqué y patenté en artículos anteriores. Estas ecuaciones son las funciones trigonométricas seno para los primos p>5 y coseno para los doceavos números de Fibonacci que producen como imagen única al número áureo y se agrupan en las mismas 4 familias angulares para los dos conjuntos.
Llegados a este punto, voy a exponer brevemente la importancia del módulo 90, que nos permite agrupar al conjunto P de los números primos p>5 en 4 familias áureas con imágenes únicas. Además, para determinar la última cifra de cualquier número en base 10, aplíquese el módulo 10 y así el residuo de la congruencia será igual a la última cifra del número entero dado.
(i.e.): 911 1 (mód 10)

Dato curioso:

18°+36°+54°+72°= 180°   
        
Sin 18° + Cos 36° + Sin 54° + Cos 72° = Root 5

Proposición 1.1: Existen 4 familias áureas que agrupan a los números primos p>5  según la última cifra (1, 3, 7, 9) de cada primo mediante 4 imágenes únicas angulares (18°, 36°, 54°, 72°) para cada familia, que surgen al aplicar el módulo 90 al argumento de la función seno en cuya imagen es el número áureo.
Dada la ecuación original:

F(p) = 2 sin [ 2p-1 (10p-1 -1)]°

Ahora aplíquese el módulo 90 al argumento de dicha función:

[ 2p-1 (10p-1 -1)] mód 90

Dicho argumento corresponde al doble del periodo decimal recíproco 1/p de los números primos mayores que 5. Estos periodos decimales tienen como característica principal que son congruentes 0 mód 9 y la suma de sus cifras en bloques pares da cadenas cíclicas de nueves según el Teorema de Midy.
Las 4 familias áureas para los primos p>5 son:

v FAMILIA DEL 18°: todos los primos cuya última cifra es 1.
v FAMILIA DEL 36°: todos los primos cuya última cifra es 3.
v FAMILIA DEL 54°: todos los primos cuya última cifra es 7.
v FAMILIA DEL 72°: todos los primos cuya última cifra es 9.

Ejemplos de cada una:





Proposición 1.2: Existen 4 familias áureas que agrupan a los números de Fibonacci ubicados en las doceavas posiciones ordinales de la sucesión F12k  según la última cifra par (2, 4, 6, 8) de cada uno y con imágenes únicas angulares (18°, 36°, 54°, 72°) para cada familia, que surgen al aplicar el módulo 90 al argumento de la función coseno en cuya imagen es el número áureo.

Dada la ecuación original:

F(k)= 2 Cos [F12k]= 2 Cos [Round(ϕ12k/

Ahora aplíquese el módulo 90 al argumento de dicha función:

[ Round (ϕ12k/ ] mód 90

Dicho argumento corresponde a las doceavas posiciones ordinales F12k  de la sucesión de Fibonacci que como ya vimos, también son congruentes 0 mód 9. Razón por la cual, dentro de la función coseno se obtiene como imagen única al número áureo.

Las 4 familias áureas para los doceavos números de Fibonacci son:

v FAMILIA DEL 54°: todos los F12k  cuya última cifra es 2.
v FAMILIA DEL 18°: todos los F12k  cuya última cifra es 4.
v FAMILIA DEL 72°: todos los F12k  cuya última cifra es 6.
v FAMILIA DEL 36°: todos los F12k  cuya última cifra es 8.

Ejemplos de cada una:





A partir de estos resultados concretos, voy a exponer finalmente las 4 nuevas identidades cíclicas que vinculan directamente a las 4 familias de primos con las 4 familias de fibonacci’s (ordinales 12k, excepto aquellos que también sean múltiplos de 5).

IDENTIDAD GENERAL DE BUCLES ÁUREOS DE PRIMALIDAD.

[ 2p-1 (10p-1 -1)] mód 90 = [ Round (ϕ12k/ ] mód 90         

Ahora aquí lo interesante es saber, que esta igualdad modular es algebraicamente exacta para ciertos valores únicos de la última cifra de cada número primo y de cada doceavo ordinal de Fibonacci. También, que empareja los números pares con los números impares de la siguiente manera.

Proposición 1.3: Sea p un número primo p>5 y su última cifra solo puede ser impar (1,3,7,9) por ser un número primo. Entonces, existen imágenes angulares (18,36,54,72) únicas que comparten con los doceavos ordinales de Fibonacci cuya última cifra es par(2,4,6,8) de la siguiente manera y surgiendo 4 identidades cíclicas áureas primas:


v  Los primos terminados en 1 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k terminados en 4 y su imagen única angular es 18°
v  Los primos terminados en 3 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k terminados en 8 y su imagen única angular es 36°
v  Los primos terminados en 7 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k terminados en 2 y su imagen única angular es 54°
v  Los primos terminados en 9 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k terminados en 6 y su imagen única angular es 72°


Ejemplos en Wolframalpha:





v P1 ↔ F  {18°}
v P3 ↔ F  {36°}
v P7 ↔ F2   {54°}
v P9 ↔ F6   {72°}

Análisis de resultados:

Existen dos teoremas en la Teoría de Números sobre congruencias módulo n que nos ayudan a comprender mejor estas 4 nuevas identidades que vinculan al conjunto P de los primos con el conjunto F de las doceavas posiciones ordinales de Fibonacci.

Teorema 1: Dos enteros a y b son congruentes modulo n si y solo si tienen el mismo residuo al dividirlos por n.