lunes, 5 de agosto de 2019



UNA TEORÍA DE SIMETRÍA ÁUREA DE P PRIMO


JAVIER GRISALES HERRERA
                                                                                                                       05/08/19

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''El grupo de simetría rotacional áurea del pentágono regular en el dodecaedro y el icosaedro determina una partición áurea de p primo en 4 clases primas de equivalencia. Y el grupo de simetría rotacional de un dodecaedro es isomorfo a A5''.  Xavier Grisales 16661

La simetría áurea de los números primos es mi aporte a las matemáticas y representa una poderosa conexión hasta ahora 2019 desconocida entre la geometría, la teoría de números y la teoría de grupos. Y constituye un nuevo e importante modelo de estudio para entender la primalidad de un número entero a través de la estructura de grupo de simetría de rotación áurea que poseen. A saber, la partición de los números primos en 4 clases primas en una interesante relación donde se preservan los ángulos de rotación cuando el dominio de la función seno es el período decimal recíproco de los primos mayores que 5. Dichas isometrías rotacionales poseen como imagen senoidal a la razón áurea dentro del pentágono regular.

Ahora que ya demostré la existencia de 4 clases primas como conjuntos de simetrías áureas de grupo, donde se preservan los ángulos de rotación en isometrías del pentágono regular mediante la función seno, voy a mostrar aquí y ahora nuevos teoremas derivados en espacios hiperbólicos p-dimensional y otros usando series y productos de mis teoremas de partición áurea y del 12th Fibonacci.


TABLA DE CONTENIDO
1. Tabla de isometrías de clases primas
2. Tabla de isometrías del 12th Fibonacci
3. Tabla de isometrías de potencias enteras de 2 y 3
4. Serie del seno de p primo
5. Serie del coseno del 12th Fibonacci
6. Producto del seno de p primo
7. Producto del coseno del 12th Fibonacci
8. Teorema del cociente áureo de clases primas
9. Teorema exponencial áureo de clases primas
10. Isometrías polilogarítmicas áureas para ζ(2) y ζ(3)
11. Teorema de puntos de corte áureos en ±½ para clases primas

1. TABLA DE ISOMETRÍAS PRIMAS

Empecemos por mostrar una tabla de clases residuales primas mód 90 y mód 360 para que veamos que dichas clases son únicas para 4 familias de números primos según su último dígito (1,3,7,9).
Obténgase el mód 90 de la expansión decimal periódica de p primo p>5:



Como se puede observar existen 4 clases residuales módulo 90: {18°,36°,54°,72°}
Y ahora con el mód 360 se tiene:


Aquí se obtienen las siguientes 8 clases residuales:
{ 18°,54°,126°,162°,198°,234°,306°,342° }


Donde cada ángulo o clase residual se relaciona tal que la diferencia  entre el mayor y el menor para cada clase prima es de 180°

P1  ↔ { 18° , 198° }     tal que 198° - 18 °   = 180°
P3  ↔ { 126° , 306° }   tal que 306° - 126°  = 180°
P7  ↔ { 54° , 234° }     tal que 234° - 54 °   = 180°
P9 ↔ { 162° , 342° }   tal que 342° - 162 °  = 180°

Y también la suma tiene la siguiente propiedad:

18° + 198°   = 216°
126° + 306° = 432°  ; tal que  432° 72° (mód 360°)
54° + 234°   = 288°
162° + 342° = 504°  ; tal que  504° 144° (mód 360°)

Donde { 72°, 144°, 216°, 288° } son las isometrías rotacionales del pentágono regular.

2. TABLA DE ISOMETRÍAS DEL 12TH FIBONACCI

Ahora veamos las clases residuales mód 90 y mód 360 obtenidas a partir de los 12th Fibonacci’s y veremos que también dan las isometrías rotacionales del pentágono regular.

Con el módulo 360 se tiene:







Las clases residuales son: {144°,288°,72°,216°,0°}
Ahora veamos con el módulo 90:


Las clases residuales son: {54°,18°,72°,36°,0°}






TABLA DEL COSENO DEL 12TH FIBONACCI

Produce una partición 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+3, 5k+4






3. TABLA DE ISOMETRÍAS DE POTENCIAS ENTERAS DE 2 Y 3

Aquí veremos de nuevo las isometrías obtenidas mediante las clases residuales del producto de las potencias enteras del primo 2 y 3.






Ahora veamos las imágenes del coseno de dichas potencias



Ahora igualando la función de primos, 12th Fibonacci’s y potencias de 2 y 3 tenemos:





4. SERIE DEL SENO DE P PRIMO

Esta serie presenta varios puntos áureos interesantes de convergencia en valores finitos:





5. SERIE DEL COSENO DEL 12TH FIBONACCI

Esta serie sí es alternante y altamente ordenada y produce una partición 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+3, 5k+4







6. PRODUCTO DEL SENO DE PRIMOS

Se debe analizar esto en detalle




7. PRODUCTO DEL COSENO DEL 12TH FIBONACCI

Este producto da algunas imágenes áureas y cada 5k arroja potencias enteras de 2.




Aquí en n=5 empiezan las potencias enteras de 2 y tenemos entonces una identidad para 2n  a partir del producto del coseno del 12th Fibonacci:





https://www.wolframalpha.com/input/?i=prod+n%3D1+to+5(42)+%5B+2Cos(fib(12+n))%C2%B0+%5D


8. TEOREMA DEL COCIENTE ÁUREO DE CLASES PRIMAS

Ahora voy a mostrar un nuevo teorema cociente áureo de senos donde se preservan los ángulos de rotación y las clases residuales de las 4 clases primas módulo 90, presentan la siguiente estructura fundamental.

Proposición: ‘’La raíz cuadrada del cociente de las 4 clases primas poseen 6 imagen es únicas para cada una y son { 1,  i, φ,  φ-1φi,  iφ-1  }

P1   P1  = 1, i
P1 ↔  P3  = φ-1, iφ-1
P1 ↔  P7  = φ-1, iφ-1
P1 ↔  P9  = 1, i

P3 ↔  P1  = φ , iφ
P3 ↔  P3  = 1, i
P3 ↔  P7  = 1, i
P3 ↔  P9  = φ , iφ

P7 ↔  P1  = φ , iφ
P7 ↔  P3  = 1, i
P7 ↔  P7  = 1, i
P7 ↔  P9  = φ , iφ

P9 ↔  P1  = 1, i
P9 ↔  P3  = φ-1, iφ-1
P9 ↔  P7  = φ-1, iφ-1
P9 ↔  F9  = 1, i 





9. TEOREMA EXPONENCIAL ÁUREO DE CLASES PRIMAS

Ahora, voy a mostrar un nuevo y potente resultado que resulta sorprendente por su conjunto imagen. Para el cual, utilicé el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico aplicado a mis 2 teoremas anteriores. A saber, el teorema de partición aurea de p primo y el teorema del 12th Fibonacci.
Consiste en obtener el seno hiperbólico del teorema de partición aurea de p primo y el coseno hiperbólico del teorema del 12th Fibonacci anteriormente descritos y demostrados en el artículo anterior. De lo cual se tiene:

PROPOSICIÓN 1: existe una función hiperbólica de la forma:

f(α, β) = Sinh( 2 Sin α) + Cosh( 2 Cos  β)    

Donde    α = 2t-1(10t-1-1)  ;  t>5  y t Primes

Donde    β = F12k-{5k}           son los 12th Fibonacci’s

P1 ↔  F2  = e±ϕ
P1 ↔  F4  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P1 ↔  F6  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P1 ↔  F8  = e±ϕ

P3 ↔  F2  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P3 ↔  F4  = e±ϕ
P3 ↔  F6  = e±ϕ
P3 ↔  F8  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)

P7 ↔  F2  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P7 ↔  F4  = e±ϕ
P7 ↔  F6  = e±ϕ
P7 ↔  F8  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)

P9 ↔  F2  = e±ϕ
P9 ↔  F4  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P9 ↔  F6  = 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ)
P9 ↔  F8  = e±ϕ


Son en total 8 imágenes áureas:

{ eϕ , e-ϕ , e1/ϕ , e-1/ϕ , 1/2(-eϕ+e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ), 1/2(eϕ-e-ϕ+e1/ϕ+e-1/ϕ),
1/2(eϕ+e-ϕ-e1/ϕ+e-1/ϕ), 1/2(eϕ+e-ϕ+e1/ϕ-e-1/ϕ) }

Aquí el link de las 4 últimas imágenes:





Ahora veamos algunos ejemplos:









10. IDENTIDADES DEL POLILOGARITMO ÁUREO PARA ζ(2) y ζ(3)

Existen algunas identidades entre el polilogaritmo, el número áureo usado como una constante y valores de la función zeta de Riemann. Voy a reemplazar en dichas identidades el valor del número áureo por mis teoremas de simetría aurea para clases primas. Es decir, reemplazando el valor fijo de Phi constante por funciones de variable prima para todo p>5.

Li2(-φ) = -(π^2)/10 - log^2(φ)




Reemplazando a Phi por las funciones áureas:


Usando el coseno del 12th Fibonacci


Usando el seno de primos y el coseno del 12th Fibonacci




Identidad aurea para ζ(3)


11. TEOREMA DE PUNTOS DE CORTE AUREOS EN ±½ PARA CLASES PRIMAS
Existe una identidad del seno hiperbólico la cual es igual al logaritmo natural del número áureo. A partir de ella, voy a mostrar 4 puntos áureos asociados a 4 clases primas que se deducen de mi teorema de partición aurea de p primo. Dichos puntos se ubican en ± ½.


Y reemplazando x=1/2 se tiene la igualdad

Sinh^-1 (1/2) = log (φ)


Luego reemplazando el valor de φ por mi teorema áureo de clases primas se tiene:


Ahora quitando el logaritmo de ambos lados se tiene:


Y tenemos que ambas funciones se cortan en:

x= 1/2 para los primos clase P3 Y P7   
x=-1/2 para los primos clase P1 y P9
Y veamos ahora algunos ejemplos:




El punto de corte áureo es x=-1/2 para los primos clase P1 y P9





Se tiene luego lo siguiente:

2 Sin[(2(prime(n))^(-1)(10^(prime(n)-1) -1))]° =  ± (x + root(x^2 +1))

Tiene como puntos de corte las siguientes parejas:

(1/2, ± φ ) sí y solo sí  P3 Y P7   

(-1/2, ± φ^-1 ) sí y solo sí  P1 Y P9   

CONCLUSIÓN:


Estos teoremas nuevos que descubrí demuestran la estructura de simetría aurea que poseen los números primos y son la base para nuevos hallazgos que subyacen a dichos resultados.



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