DE UN NUEVO TEOREMA POLAR DE INVARIANZA ÁUREA DE
P PRIMO
JAVIER GRISALES HERRERA
24/03/19
All rights reserved. & Copyright © 2019
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“El enésimo primo es el espejo que refleja la desnudez actual de las matemáticas, del emperador vestido con nada”. Xavier 6risale5
''Los números de Fibonacci son un jardín de moras, pero los números primos son los hongos venenosos que crecen bajo las murallas del reino del Álgebra''
“Dentro del castillo de Fibonacci, la primalidad forja el anillo áureo Zp, que forma un cuerpo con p primo".
''Ellos crecen como hongos venenosos en el bosque Real. Son los huevos de cristal de la Serpiente Áurea''. Xavier 6risale5
''Ellos crecen como hongos venenosos en el bosque Real. Son los huevos de cristal de la Serpiente Áurea''. Xavier 6risale5
''Ellos han puesto en jaque a todos
los matemáticos de la historia y de la prehistoria. Son el mayor abismo del sistema decimal. Son
los huevos primitivos de la Serpiente Real y van como la zorra borrando sus
huellas con la cola. Nada los toca, nada los divide. Son los aguijones venenosos de
avispas toreadas del grupo panal hexagonal algebraico. Son la parte y el todo. Ahora preguntaros: ¿Cómo orbitan estos planetas primos alrededor de su estrella polar Phi?''.
Ahora en esta nueva
entrada voy a exponer un nuevo teorema que generaliza mis fórmulas anteriores. A
saber, una función en forma polar que se preserva los ángulos de rotación en el plano
complejo f(z) = 2 (cosα + isin
β) con α = F12k-{5k} representa a los 12th números de Fibonacci,
excluyendo los múltiplos de 5 (más adelante lo explico en detalle, cos(2kπ)=1) y con β = (2t-1 (10t-1
-1)) con t>5 primo.
El conjunto imagen de
esta nueva función es un número áureo complejo y sus elementos son: {ϕ-1 ± iϕ-1,
-ϕ ± iϕ-1}. El dominio para la parte real, función coseno son los 12th Fibonacci’s F12k-{5k} y el dominio para
la parte imaginaria, función seno son los
números primos p>5. En estos dos casos, se cumple una invarianza angular de
dichas imágenes áureas. De modo que, como ya expliqué en artículos anteriores,
ambas funciones seno y coseno de dichos argumentos son isomorfas en su conjunto imagen y se rigen por las
isometrías de rotación {0°,72°,144°,216°,288°} del pentágono regular, que
modulo 90° equivalen a {0°,72°,54°,36°,18°}.
A continuación, voy a
mostrar primero dos formas algebraicas de llegar al 12th Fibonacci, mediante
las cuales se puede obtener su valor, dada su posición ordinal 12th. La primera
consiste en llegar a través de una serie geométrica
convergente de potencias de phi, y la
segunda mediante una versión reducida de la fórmula de Binet para cualquier
término de Fibonacci.
SERIE GEOMÉTRICA
CONVERGENTE AL 12TH FIBONACCI
Es una serie en la
cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante
llamada razón. La serie geométrica
con a€R, a ≠ 0 y razón r€R converge, sí y solo sí |r|<1.
∑ n=1 to ∞ arn =
a/(1-r)
 |
Veamos la serie de
potencias inversas de golden ratio:
∑ n=1 to ∞ 1/ϕn =
= ∑ n=1 to ∞ (1/ϕ)n (1/ϕ)-1 (1/ϕ)
= ∑ n=1 to ∞ (1/ϕ) (1/ϕn)n-1
Donde a=1/ϕ y r= 1/ϕ , tenemos entonces:
∑ n=1 to ∞ a rn = a /(1-r) = (1/ϕ)/(1-1/ϕ) = 1/(ϕ-1) = 1/ϕ-1 = ϕ
Como vemos esta serie geométrica converge a ϕ, empezando desde n=1 hasta infinito. Pero, ¿Qué
sucede si n empieza desde otro valor? Veremos que la serie geométrica va a
converger a potencias enteras positivas de ϕ si
n<1 y a potencias inversas negativas de ϕ si
n>1. Así:
∑ n= 2-t to ∞ 1/ϕn = ϕt , para algún t€ Z
∑ n= 2+t to ∞ 1/ϕn = ϕ-t , para algún t€ Z
DEMOSTRACIÓN:
Ya sabemos que:
∑ n=1 to ∞ 1/ϕn = ϕ , ahora examinemos las potencias con
n<1:
∑ n=0 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ0 +
(1/ϕ +1/ϕ2+…+1/ϕn) = 1 + ϕ =
ϕ2
∑ n=-1 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-1 +
(1/ϕ0 +1/ϕ+…+1/ϕn) = ϕ + ϕ2 = ϕ3
∑ n=-2 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-2 +
(1/ϕ-1 +1/ϕ0+…+1/ϕn)
= ϕ2 + ϕ3 = ϕ4
∑ n=-3 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-3 +
(1/ϕ-2 +1/ϕ-1+…+1/ϕn)
= ϕ3 + ϕ4 = ϕ5
∑ n=-4 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-4 +
(1/ϕ-3 +1/ϕ-2+…+1/ϕn)
= ϕ4 + ϕ5 = ϕ6
∑ n=-5 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-5 +
(1/ϕ-4 +1/ϕ-3+…+1/ϕn)
= ϕ5 + ϕ6 = ϕ7
∑ n=-6 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-6 +
(1/ϕ-5 +1/ϕ-4+…+1/ϕn)
= ϕ6 + ϕ7 = ϕ8
∑ n=-7 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-7 +
(1/ϕ-6 +1/ϕ-5+…+1/ϕn)
= ϕ7 + ϕ8 = ϕ9
∑ n=-8 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-8 +
(1/ϕ-7 +1/ϕ-6+…+1/ϕn)
= ϕ8+ ϕ9 = ϕ10
∑ n=-9 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-9 +
(1/ϕ-8 +1/ϕ-7+…+1/ϕn)
= ϕ9 + ϕ10 = ϕ11
∑ n=-10 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-10 +
(1/ϕ-9 +1/ϕ-8+…+1/ϕn)
= ϕ10 + ϕ11 = ϕ12
∑ n=-11 to ∞ 1/ϕn = 1/ϕ-11 +
(1/ϕ-10+1/ϕ-9+…+1/ϕn)
= ϕ11 + ϕ12 = ϕ13
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%91+n%3D-10+to+%E2%88%9E++1%2F%CF%86%5En+%3D+%CF%86%5E12
Las potencias del número áureo pueden expresarse como la suma de
potencias inferiores de sí mismo. Aquí vemos una sucesión recurrente de orden
k=2, porque se recurre a dos potencias anteriores.
De lo cual podemos generalizar:
∑ n= 2-t to ∞ 1/ϕn = ϕt , para algún t€ Z
Ahora
veamos las potencias enteras con n>1:
Partimos de ∑ n=1 to
∞ 1/ϕn = ϕ
∑ n=2 to ∞ 1/ϕn = -(1/ϕ) + ∑ n=1 to ∞ 1/ϕn = -1/ϕ + ϕ = 1
∑ n=3 to ∞ 1/ϕn = -(1/ϕ+1/ϕ2) + ϕ = ϕ-1
∑ n=4 to ∞ 1/ϕn = -(ϕ-1+ϕ-2+ϕ-3) + ϕ = ϕ-2
∑ n=5 to ∞ 1/ϕn = -(ϕ-1+ϕ-2+ϕ-3+ϕ-4) + ϕ = ϕ-3
∑ n=6 to ∞ 1/ϕn = -(ϕ-1+ϕ-2+ϕ-3+ϕ-4+ϕ-5) + ϕ = ϕ-4
∑ n=7 to ∞ 1/ϕn = -(ϕ-1+ϕ-2+ϕ-3+ϕ-4+ϕ-5+ϕ-6) +ϕ = ϕ-5
Y así en adelante, se cumple
esta propiedad.
Veamos ahora cuando n=9, entonces da ϕ-11
De lo cual podemos generalizar:
∑ n= 2+t to ∞ 1/ϕn = ϕ-t , para algún t€ Z
FORMA ÁUREA
DE LLEGAR AL ENÉSIMO FIBONACCI
El número áureo es
límite cuando n tiende a infinito del cociente entre Fn+1 y Fn.
Donde Fn es el enésimo término de la sucesión de Fibonacci.
Así ϕ = límn->∞ Fn+1 / Fn =
(1+sqrt5)/2
De modo que, una
forma de aproximarse al sucesor del enésimo termino Fn+1, es
haciendo el producto entre ϕ y Fn. Y esto se explica porque la distancia entre un término
y otro de la sucesión viene dada por la razón áurea en la cual aumenta. Así:
Fn+1 = round [ϕ Fn ], por ejemplo para n=11
fib(12) = round [ϕ fib(11)] , donde round es la función parte entera.
Como ya vimos:
∑ n=2 to ∞ 1/ϕn =
1 , luego
∑ n=2 to ∞ a/ϕn =
a, para algún a € R
Ahora veamos como las potencias enteras de ϕ, permiten llegar de un Fn dado al
siguiente Fkn, donde k €{1,2,3…}. En este
caso, aplicando la función parte entera al producto entre ϕk y
el Fkn, se obtiene el Fk(n+1). Lo cual es una subsucesión
de términos de Fibonacci, según sus posiciones ordinales.
Fk(n+1) = round [ϕk Fkn
]
, para algún k ∈ {1,2,3…}
Aplicando para el caso requerido F12k tenemos:
F12(n+1) = round [ϕ12 F12n]
Y como ya sabemos
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%91+n%3D-10+to+%E2%88%9E++1%2F%CF%86%5En+%3D+%CF%86%5E12
∑ n=-10 to ∞ 1/ϕk = ϕ12 ,
entonces reemplazando tenemos:
F12(k+1) = round [ ∑ n=-10 to ∞ 1/ϕn F12k ] , con k€{1,2,3…}
FÓRMULA REDUCIDA DE BINET
La otra forma de llegar al 12th Fibonacci es mediante una versión
simplificada de la fórmula de Binet y es la siguiente:
fib(12(n)) = round [ϕ12n/√5 ]
Aquí abajo en este artículo anterior explico este punto:
La propiedad importante del 12th Fibonacci es que cuando opera como
argumento de la función coseno, se comporta como un ángulo áureo (es decir, su
imagen siempre es –ϕ/2
o ϕ-1/2) y F12k-{5k} es múltiplo par de 9.
Sea f(x) = 2 Cos [F12k-{5k}]° = 2 Cos [round (ϕ12k /√5 )]°
Ya sabemos que los F12k-{5k} son números pares múltiplos de 9.
La última cifra n del F12k podemos saberla así: F12k ≡ n (mód 10).
Luego:
K ≡ {2,7} (mód 10) ↔ F12k ≡ 2 (mód
10) ↔ F12k
≡ 72 (mód 90)
K ≡ {0,5} (mód 10) ↔ F12k ≡ 4 (mód
10) ↔ F12k
≡ 54 (mód 90)
K ≡ {3,8} (mód 10) ↔ F12k ≡ 6 (mód
10) ↔ F12k
≡ 36 (mód 90)
K ≡ {1,6} (mód 10) ↔ F12k ≡ 8 (mód 10) ↔ F12k
≡ 18 (mód 90)
Luego:
F12k ≡ 72 (mód 90) ↔ 2 Cos [F12k-{5k}]° = ϕ-1
F12k ≡ 54 (mód 90) ↔ 2 Cos [F12k-{5k}]° = -ϕ
F12k ≡ 36 (mód 90) ↔ 2 Cos [F12k-{5k}]° = -ϕ
F12k ≡ 18 (mód 90) ↔ 2 Cos [F12k-{5k}]° = ϕ-1
EJEMPLOS:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5BRound+(sum+n%3D-10+to%E2%88%9E+fib(12(88))%2F%CF%86%5En+)%5D+mod+90
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5BRound+(sum+n%3D-10+to%E2%88%9E+fib(12(100))%2F%CF%86%5En+)%5D+mod+90
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5BRound+(sum+n%3D-10+to%E2%88%9E+fib(12(88))%2F%CF%86%5En+)%5D+mod+90
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5BRound+(sum+n%3D-10+to%E2%88%9E+fib(12(100))%2F%CF%86%5En+)%5D+mod+90
Es decir, F12k-{5k} ≡ 0 (mód 9). Se aclara que excepto aquellos que sean múltiplos de 5,
porque 5 | F5k . Y esto
hace que cos [F(12x5)k]° = cos [F60k]° =
1
La demostración de que 9 | F12k se da en el siguiente enlace:
Otra forma de probar que los F12k-{5k} son múltiplos de 9, es mediante la sucesión de residuos de Fibonacci módulo
9. La cual es la siguiente:
Ya explicado lo anterior, ahora sí pasemos a mi nuevo teorema dado por la
fórmula:
Sea f(z) = 2(cos α + isin β)
α = F12k-{5k} ,
con k€{1,2,3…}
β = (2t-1 (10t-1
-1)) con t>5 primo.
Donde 9|α y 9| β, que
ya está claro en el caso de α y en el caso de β, viene dado porque el Teorema
de Midy garantiza que los periodos decimales recíprocos de todos los números
primos p>5 suman cadenas o strings de 9’s.
Teorema
de Midy: “Sea a/p una fracción con a<p y p>5 es un número primo. Suponga
que esta fracción tiene una expansión decimal periódica, donde la cantidad de
dígitos en el periodo es par. Donde a/p =0.a1a2…a2k-1a2k
, si dividimos el periodo en k bloques y sumamos dichos bloques se
obtiene una cadena de nueves”.
Aquí podemos ver la
demostración de dicho teorema:
Partimos de que t-1 (10t-1 -1))
es la expansión decimal periódica de todos los números primos p>5. Y dicha
expansión es un múltiplo de 9. Entonces, el doble de dicha expansión decimal es
múltiplo de 18. Y este 18 resulta ser el primer ángulo de rotación cuyo seno es
siempre ϕ.
Aquí podemos ver algunos ejemplos:
TEOREMA POLAR DE INVARIANZA ÁUREA DE P PRIMO:
"Existe una función polar que preserva los ángulos de rotación cuya parte real son los 12th Fibonacci's y cuya parte imaginaria son los números primos mayores p>5. Y su conjunto imagen es el número áureo complejo ϕ±1 ± iϕ±1 ".
La demostración de este teorema se da efectiva por las dos funciones coseno α y seno β ya demostradas en R.
f(z) = 2( cos α + i sin β)
Ahora veamos el conjunto imagen para la función f(z) y los radios r y ángulos θ del plano complejo asociados y cómo varía según el último dígito de cada p primo y según el último dígito del F12k-{5k} .
P1 ↔
F2 = ϕ-1 ± iϕ-1 , r = ϕ-1√2, θ = ± 45°
P1 ↔
F4 = -ϕ-1 ± iϕ-1 , r = √3, θ = tan-1(ϕ2) + 90° = ± 159.0948°…
P1 ↔
F6 = -ϕ-1 ± iϕ-1 , r = √3, θ = tan-1(ϕ2) + 90° = ± 159.0948°…
P1 ↔
F8 = ϕ-1± iϕ-1 , r = ϕ-1√2, θ = ±45°
P3 ↔
F2 = ϕ-1± iϕ , r = √3, θ = tan-1
(ϕ2) = ± 69.0948°...
P3 ↔
F4 = -ϕ ± iϕ , r = ϕ√2, θ = ± 135°
P3 ↔
F6 = -ϕ ± iϕ , r = ϕ√2, θ = ± 135°
P3 ↔
F8 = ϕ-1± iϕ , r = √3,
θ = tan-1
(ϕ2) = ± 69.0948°...
P7 ↔
F2 = ϕ-1± iϕ , r = √3, θ = tan-1
(ϕ2) = ± 69.0948°...
P7 ↔
F4 = -ϕ ± iϕ , r = ϕ√2, θ = ± 135°
P7 ↔
F6 = -ϕ ± iϕ ,
r = ϕ√2, θ = ± 135°
P7 ↔
F8 = ϕ-1± iϕ , r = √3, θ = tan-1
(ϕ2) = ± 69.0948°...
P9 ↔
F2 = ϕ-1± iϕ-1 , r = ϕ-1√2, θ = ± 45°
P9 ↔
F4 = -ϕ-1 ± iϕ-1 , r = √3, θ = tan-1(ϕ2) + 90° = ± 159.0948°…
P9 ↔
F6 = -ϕ-1 ± iϕ-1 , r = √3, θ = tan-1(ϕ2) + 90° = ± 159.0948°…
P9 ↔
F8 = ϕ-1± iϕ-1 , r = ϕ-1√2 , θ = ± 45°
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B180(%CF%80+%2B++tan%5E-1(-%CF%86%5E-2))%5D+%2F+%CF%80
r = ϕ√2 = root(3+√5)
CLASES RESIDUALES
K ≡ {2,7} (mód 10) ↔ F12k ≡ 2 (mód 10) ↔ F12k ≡ 72 (mód 90)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+%5B+cos%5Bround+(%CF%86%5E(12(57))%2Froot5)%5D%C2%B0+%2B+i+sen%5B(2((457))%5E(-1)(10%5E((457)-1)+-1))%5D%C2%B0+%5D
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B180(%CF%80+%2B++tan%5E-1(-%CF%86%5E-2))%5D+%2F+%CF%80
r = ϕ√2 = root(3+√5)
CLASES RESIDUALES
P1
↔
F8 ↔ 288° ≡
18°(mód
90)
P3 ↔ F6 ↔ 216° ≡
36°(mód
90)
P7 ↔ F4 ↔ 144° ≡
54°(mód
90)
P9
↔
F2
↔ 72°
≡ 72°(mód 90)
Las clases
residuales son
las isometrías que
dejan invariantes los ángulos de rotación del grupo de simetría áurea
del pentágono
regular en el primer cuadrante. Esto se cumple para todo p primo p>5 y
para todo 12th Fibonacci (excepto los 5k) creando 2 particiones de cada
conjunto.
K ≡ {2,7} (mód 10) ↔ F12k ≡ 2 (mód 10) ↔ F12k ≡ 72 (mód 90)
K ≡ {0,5} (mód 10) ↔ F12k ≡ 4 (mód 10) ↔ F12k ≡ 54 (mód 90)
K ≡ {3,8} (mód 10) ↔ F12k ≡ 6 (mód 10) ↔ F12k ≡ 36 (mód 90)
K ≡ {1,6} (mód 10) ↔ F12k ≡ 8 (mód 10) ↔ F12k ≡ 18 (mód 90)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+%5B+cos%5Bround+(%CF%86%5E(12(57))%2Froot5)%5D%C2%B0+%2B+i+sen%5B(2((457))%5E(-1)(10%5E((457)-1)+-1))%5D%C2%B0+%5D
REFERENCES
http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
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