UN COCIENTE
COMPLEJO ÁUREO DE SIMETRÍA ROTACIONAL PARA P PRIMO
JAVIER GRISALES
HERRERA
31/10/18
''If you only knew the magnificence of the 3, 6 and 9, then you would have a key to the Universe.'' Nikola Tesla.
31/10/18
''If you only knew the magnificence of the 3, 6 and 9, then you would have a key to the Universe.'' Nikola Tesla.
En este nuevo artículo voy a
mostrar una poderosa relación que encontré que existe al hacer el cociente de
mis 2 fórmulas anteriores: la primera que tiene como conjunto imagen al número
áureo para todo p primo mayor que 5 y la segunda que tiene como conjunto imagen
al número áureo para todo 12avo número de Fibonacci.
GRUPO DE SIMETRÍA ROTACIONAL ÁUREA
Sea el grupo de rotación del pentágono regular en el
plano complejo. La posición de los vértices puede ser descrita por números
complejos. Usando el
pentágono inscrito en un círculo de radio 1 las posiciones de los vértices están
dadas por:
Ø e2ipi/5 = ϕ-1/2 + i sin72°
Ø e4ipi/5 = -ϕ/2 + i sin36°
Ø e6ipi/5 = -ϕ/2 + i sin36°
Ø e8ipi/5 = ϕ-1/2 + i sin72°
La representación de los elementos del
grupo de rotación con el producto dan un álgebra:
{ 1 , e2ipi/5 , e4ipi/5 , e4ipi/5 , e6ipi/5 , e8ipi/5 }
Las isometrías que dejan invariante al pentágono
regular son 5 rotaciones alrededor del centro de amplitudes:
{ 0°, 72°, 144°, 216°, 288° }
* |
e2ipi/5 |
e4ipi/5
|
e6ipi/5
|
e8ipi/5
|
e2ipi/5
|
e4ipi/5
|
e6ipi/5
|
e8ipi/5
|
1 |
e4ipi/5
|
e6ipi/5
|
e8ipi/5
|
1 |
e2ipi/5
|
e6ipi/5
|
e8ipi/5
|
1 |
e2ipi/5
|
e4ipi/5
|
e8ipi/5
|
1 |
e2ipi/5
|
e4ipi/5
|
e6ipi/5
|
Este grupo es abeliano pues cada elemento posee
inverso, existe el neutro para el producto y además es conmutativo.
COCIENTE COMPLEJO
DE SIMETRÍA ROTACIONAL ÁUREO PARA P PRIMO
El número áureo también puede expresarse como el
cociente de la función impar periódica seno y la función par periódica coseno. La
función seno es impar f(-x) = -f(x). Desde un punto de vista geométrico,
una función impar posee una simetría
rotacional con respecto al origen de coordenadas. Es decir, que su gráfica no se altera luego de
una rotación de 180° alrededor del origen. En Análisis
Armónico, sabemos que la función seno es periódica f(x+p) =
f(x), con p = 2π. Y al
modular con 90 todos los múltiplos de 18, vamos
a obtener la iteración de las 4 imágenes para Phi.
Podemos expresar al número áureo así:
v ϕ = sin 72° / sin 36°
v ϕ = sin 72° / sin 144°
v ϕ = sin 108° / sin 36°
v ϕ = sin 288° / sin 216°
v ϕ = cos 18° / cos 54°
v ϕ2 = sin 54° / sin 18°
v ϕ2 = cos 36° / cos 72°
v ϕ = cos 198° / cos126°
Y generalizando para cualquier k, con base en mi artículo
anterior llamado: DE LA EXISTENCIA DE 9 IDENTIDADES ÁUREAS CON BASE PRIMA Y UNA
CONSTANTE PRIMORIAL: http://javiermathprimes.blogspot.com/2018/01/de-la-existencia-de-nuevas-constantes.html
Para senos tenemos:
Ø Sin [(2)^(2(t)) (3^(2(t)+1))] / Sin [(2)^(2(t))
(3^(2(t)))], con t entero.
Para cosenos:
Ø Cos [(2) 3^(2(t))] / Cos [(2) 3^(2(t)+1)]
Ahora haciendo el cociente de mis dos funciones de
rotación áurea para p primo y para los 12avos Fibonacci, llegamos al plano complejo.
Y tenemos 6 imágenes únicas: { 1, i, ϕ, ϕ-1, ϕi, iϕ-1 }
root(sin[(2((13))^(-1)(10^((13)-1) -1))]° / cos[round
(phi number^(12(13)))/root5]°)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=root(sin%5B(2((13))%5E(-1)(10%5E((13)-1)+-1))%5D%C2%B0+%2F+cos%5Bround+(phi+number%5E(12(13)))%2Froot5%5D%C2%B0)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=root(sin%5B(2((59))%5E(-1)(10%5E((59)-1)+-1))%5D%C2%B0+%2F++cos%5Bround+(phi+number%5E(12(192)))%2Froot5%5D%C2%B0)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=root(sin%5B(2((59))%5E(-1)(10%5E((59)-1)+-1))%5D%C2%B0+%2F++cos%5Bround+(phi+number%5E(12(192)))%2Froot5%5D%C2%B0)
Ahora analicemos el conjunto imagen del cociente complejo, según el último
dígito de cada p primo y de cada F12 fibonacci. Vamos a guiarnos por
la función de partición áurea para p primo que en esta función cociente
complejo ocupa el lugar del numerador, el cual clasifica a los primos en 4
clases de equivalencia para 4 ángulos áureos, según el último dígito de cada
primo p>=7.
Sin pérdida de generalidad, entonces tenemos:
P1 ↔ F2 = 1, i
P1 ↔ F4 = ϕ-1, iϕ-1
P1 ↔ F6 = ϕ-1, iϕ-1
P1 ↔ F8 = 1, i
P3 ↔ F2 = ϕ , iϕ
P3 ↔ F4 = 1, i
P3 ↔ F6 = 1, i
P3 ↔ F8 = ϕ , iϕ
P7 ↔ F2 = ϕ , iϕ
P7 ↔ F4 = 1, i
P7 ↔ F6 = 1, i
P7 ↔ F8 = ϕ , iϕ
P9 ↔ F2 = 1, i
P9 ↔ F4 = ϕ-1, iϕ-1
P9 ↔ F6 = ϕ-1, iϕ-1
P9 ↔ F8 = 1, i
References:
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