GOLDEN
PRIME SIMMETRY OF GCD AND LCM: CONJUGATED ANGLES AND GOLDEN COTERMINALS OF PRIME N-UPLAS AND 12TH FIBONACCI
JAVIER GRISALES HERRERA
13/07/2020
JAVIER GRISALES HERRERA se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.
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Como
las 24 runas vikingas (12 solares y 12 lunares), como las 24 horas de la
cronosfera, como los 24 Fibonacci’s que cierran un ciclo áureo en los 9 mundos
del Yggdrassil. Cuando el hacha plateada parte el tronco en sección áurea y
vuelan mil astillas aleatorias como los primos. Número y razón. Bebed ahora la
hidromiel dorada de la verdad y destapa ya los cofres ocultos de la geometría cifrada
en las piñas de los pinos cubiertos de hexagramas hechos de copos de nieve
El tiempo usa el sistema sexagesimal en base 60, este sistema es muy
antiguo y se remonta a la antigua Mesopotamia y se usa para medir el tiempo y
los ángulos en trigonometría en nuestros días. Hace ya 4000 años los astrónomos
babilonios desarrollaron el sistema sexagesimal. El conteo empieza al dividir
el todo en 60 partes iguales, es decir, contar del 1 al 60 que tuvo como origen
el uso del número de falanges de la mano humana. Así, la circunferencia se
dividió en 360 partes y a cada parte se le llamó grado y el círculo del reloj
en 12 horas de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. De esta manera, la
historia de la trigonometría comienza
con los babilonios y egipcios que establecieron la medida de los ángulos en
grados, arcominutos y arcosegundos.
Los astrónomos de Babilonia registraban cuidadosamente el movimiento de
los planetas, las estrellas, los eclipses solares y lunares usando la distancia
angular sobre la esfera celeste. Así, corriendo los siglos desde las poderosas
aguas del Nilo, llegamos al año 660 EC, durante el Califato Omeya, donde los
árabes usaron el sistema sexagesimal para medir el tiempo, los arcos
geométricos y cimentaron el uso del sistema sexagesimal moderno. Se estableció
que un grado sexagesimal tiene 60 arcominutos y 1 minuto 60 arcosegundos para
medir la longitud de arco, el acimut y cartografiar el cielo nocturno.
En este artículo 11 voy a mostrar cómo el módulo 360 del MCM Y MCD de
cualquier n-upla de números primos da como resultado las isometrías del
pentágono regular rotadas en: +18 ° y -18° de su valor original. Y el módulo
360 del MCM y MCD de cualquier n-upla de doceavos números de Fibonacci da las
isometrías exactas del pentágono regular: 0°, 72°, 144°, 216°, 288°
TABLA DE CONTENIDO
1. Isometrías del pentágono rotado +18° y -18°
2. Ángulos conjugados áureos
3. Ángulos coterminales áureos
4. Módulo 360 del MCM y MCD de n-uplas de primos
5. Módulo 360 del MCM y MCD de n-uplas de Fibonaccis F12k
6. Módulo 360 del MCM y MCD de n-uplas de potencias de 2 y
3
1. ISOMETRÍAS DEL PENTÁGONO REGULAR ROTADO +18° Y -18°
Una simetría del pentágono es una permutación de los vértices que
preserve las distancias y los ángulos entre ellos. Al conjunto de simetrías del
pentágono regular se le llama Grupo Diédrico D5. Y está formado por 5
rotaciones y 5 reflexiones. Las isometrías que dejan invariante el pentágono
regular son 5 rotaciones alrededor del centro de amplitudes: 72°, 144°, 216°,
288°, 360° y 5 reflexiones respecto de los ejes que pasan por sus vértices y el
punto medio del lado opuesto. De esta manera, las transformaciones isométricas forman
un Grupo de Simetría o Grupo Diédrico de 10 elementos en el pentágono.
Proposición 1.1
Al obtener el módulo 360 de cualquier n-upla de los doceavos números de
Fibonacci, se obtienen 5 clases residuales que corresponden a las isometrías
del pentágono regular 0°, 72°, 144°, 216°, 288°.
Proposición 1.2
Al obtener el módulo 360 para cualquier n-upla de números primos p>5,
se obtienen 8 clases residuales que se forman al sumar y restar 18°:
Aquí giran en sentido positivo las isometrías del pentágono +18° (Pentagrama
hacia arriba)
0° + 18°
= 18°
72° + 18° = 90°
144° + 18° = 162°
216° + 18° = 234°
288° + 18° = 306°
Y aquí giran en sentido negativo las isometrías del pentágono -18° (Pentagrama invertido)
0° - 18°
= 342°
72° - 18°
= 54°
144° - 18°
= 126°
216° - 18°
= 198°
288° - 18°
= 270°
Estas 8 clases residuales módulo 360 obtenidas de cualquier n-upla de
números primos se ordenan de la siguiente manera según las 4 familias o clases
primas ordenadas según su última cifra:
P1 ↔ {18°, 198°}
P3 ↔ {126°, 306°}
P7 ↔ {54°, 234°}
P9
↔ {162°, 342°}
TEOREMA DE DOBLE ROTACIÓN DE ISOMETRÍAS
DEL PENTÁGONO
Las 8 clases residuales modulo 360° de los números primos corresponden a
las isometrías del pentágono regular rotadas en +18° y -18°. Es decir, dos
pentágonos o pentagramas uno hacia arriba y otro invertido.
2. ÁNGULOS CONJUGADOS ÁUREOS
Dos ángulos α y β son conjugados si suman 360°. En este caso, me refiero a aquellos ángulos
que son las 8 clases residuales de los números primos ya mencionados.
Para obtener el ángulo β conjugado del ángulo α, se
resta α de 360°:
360° – 18° = 342°
360° – 54° = 306°
360° – 126° = 234°
360° – 162° = 198°
También se sabe que cada ángulo del primer cuadrante en el
plano cartesiano tiene su equivalente en los otros 3 cuadrantes y se determinan
así:
Primer cuadrante: α= 18°
Segundo cuadrante: 180° – α = 180° - 18° = 162°
Tercer cuadrante: 180° + α
= 180° + 18° = 198°
Cuarto cuadrante: 360° – α
= 360° + 18° = 342°
Y para el ángulo beta tenemos:
Primer cuadrante: β = 54°
Segundo cuadrante: 180° – β = 180° - 54° = 126°
Tercer cuadrante: 180° + β = 180° + 54° = 234°
Cuarto cuadrante:
360° – β = 360° + 54° = 306°
3. ÁNGULOS COTERMINALES ÁUREOS
Son ángulos en posición estándar (con el lado inicial en el
eje positivo de las x) y que tienen el lado terminal común. Para encontrar ángulos
coterminales positivos y negativos basta con sumar y restar 360° K veces, con K
entero.
X1 = 18° + 360K
X2 = 54° + 360K
X3 = 126° + 360K
X4 = 162° + 360K
X5 = 198° + 360K
X6 = 234° + 360K
X7 = 306° + 360K
X8 = 342° + 360K
Así para cualquier ángulo mayor de 360°, se divide entre 360 y el
residuo o módulo obtenido es el ángulo coterminal.
P1 ↔ {18°, 198°}
P3 ↔ {126°, 306°}
P7 ↔ {54°, 234°}
P9
↔ {162°, 342°}
Proposición 3.1
El cociente de los senos de las isometrías del pentágono regular es
isomorfo al número áureo:
Sin (72 + 360K)° / Sin (144 + 360K)° = φ
Sin (288 + 360K)° / Sin (216 + 360K)° = φ
Proposición 3.2
El cociente de los cosenos de las isometrías rotadas +18° y -18° del
pentágono regular, correspondiente a los números primos es isomorfo al número
áureo:
Para el pentágono hacia arriba:
Cos (18 + 360K)° / Cos (306 + 360K)° = φ
Cos (162 + 360K)° / Cos (234 + 360K)° = φ
Y
en el pentágono
invertido:
Cos (198 + 360K)° / Cos (126 + 360K)° = φ
Cos (342 + 360K)° / Cos (54 + 360K)° = φ
4. MÓDULO 360 DEL MCM Y MCD DE N-UPLAS DE PRIMOS
El módulo 360 del MCM y del MCD de cualquier n-upla del algoritmo de mí
formula cuyas entradas son números primos corresponden a los siguientes
ángulos: 18°, 54°, 126°, 162°, 198°, 234°, 306°, 342°. Estos ángulos son todos
aquellos cuya imagen en la función seno es el número áureo. Y ya sabemos que
también son los ángulos coterminales o clases residuales de las 4 familias de
números primos.
El módulo 360 del LCM Y GCD de n-uplas de números primos son las
isometrías del pentágono regular rotadas 18° y -18°
Ejemplo del seno de dicha isometría o clase residual (ángulo coterminal)
5. MÓDULO 360 DEL MCM Y MCD DE N-UPLAS DE FIBONACCIS F12K
El módulo 360 del LCM y del GCD de cualquier n-upla de los doceavos
números de Fibonacci, es igual a las isometrías del pentágono regular.
6. MÓDULO 360 DEL MCM Y MCD DE N-UPLAS DE POTENCIAS DE 2 Y
3
El módulo 360 del LCM y del GCD de cualquier n-upla del producto de las
potencias enteras de 2 y 3, es igual a las isometrías del pentágono regular.
REFERENCIAS
http://facultadciencias.ut.edu.co/images/servicios/Memorias_IX_ENME_-UT-2.pdf
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