DE 4 NUEVAS IDENTIDADES MODULARES CÍCLICAS ÁUREAS PRIMAS Y SUS 4 FAMILIAS
ANGULARES ÚNICAS
JAVIER GRISALES HERRERA
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«El Tao engendra al Uno,
el Uno engendra al Dos,
el Dos engendra al Tres.
El Tres engendra a los diez mil seres».
Lao Tsé. Tao Te King. Capitulo XLII
el Uno engendra al Dos,
el Dos engendra al Tres.
El Tres engendra a los diez mil seres».
Lao Tsé. Tao Te King. Capitulo XLII
Cuando la primalidad va en
bucles dentro de bucles dentro de bucles en ciclos áureos.
Los números primos no juegan a los dados.
Los números primos no juegan a los dados.
Ya hemos visto hasta aquí, que existe una relación geométrica
aritmética entre el conjunto P de los números primos y el conjunto F de los
números de Fibonacci. Siendo estos últimos, generadores de una constante real
llamada número áureo. Ahora voy a exponer 4 identidades generales nuevas que
demuestran dicha relación de recurrencia entre los números primos p>5 y los
doceavos números de Fibonacci.
Ahora veamos el siguiente análisis sobre la estructura cíclica de la
sucesión de Fibonacci que explica el por qué existe la recurrencia en sus
elementos y la interrelación inédita que descubrí en forma de 4 identidades
doradas entre cada número primo p>5 y cada número de Fibonacci de la doceava
posición ordinal.
BUCLES ÁUREOS O CICLOS ITERATIVOS EN LAS RAÍCES DIGITALES DE
LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
Se ha encontrado que la sucesión de Fibonacci posee una estructura de
bucles cíclicos e iterativos que se repiten cada 24 términos y que se demuestra
al obtener las raíces digitales de cada k-ésimo término sumando los dígitos que
los componen. Para lo cual, existe la siguiente fórmula que utiliza el módulo 9:
digital root(n) = n-9 floor function[
(n-1)/9 ] = 1+[ n-1(mód 9)]
Hagamos una tabla comparativa:
n
|
Fn
|
Digital root
|
n
|
Fn
|
Digital root
|
1
|
1
|
1
|
13
|
233
|
8
|
2
|
1
|
1
|
14
|
377
|
8
|
3
|
2
|
2
|
15
|
610
|
7
|
4
|
3
|
3
|
16
|
987
|
6
|
5
|
5
|
5
|
17
|
1597
|
4
|
6
|
8
|
8
|
18
|
2584
|
1
|
7
|
13
|
4
|
19
|
4181
|
5
|
8
|
21
|
3
|
20
|
6765
|
6
|
9
|
34
|
7
|
21
|
10946
|
2
|
10
|
55
|
1
|
22
|
17711
|
8
|
11
|
89
|
8
|
23
|
28657
|
1
|
12
|
144
|
9
|
24
|
46368
|
9
|
n
|
Fn
|
Digital root
|
n
|
Fn
|
Digital root
|
25
|
75025
|
1
|
37
|
24157817
|
8
|
26
|
121393
|
1
|
38
|
39088169
|
8
|
27
|
196418
|
2
|
39
|
63245986
|
7
|
28
|
317811
|
3
|
40
|
102334155
|
6
|
29
|
514229
|
5
|
41
|
165580141
|
4
|
30
|
832040
|
8
|
42
|
267914296
|
1
|
31
|
1346269
|
4
|
43
|
433494437
|
5
|
32
|
2178309
|
3
|
44
|
701408733
|
6
|
33
|
3524578
|
7
|
45
|
1134903170
|
2
|
34
|
5702887
|
1
|
46
|
1836311903
|
8
|
35
|
9227465
|
8
|
47
|
2971215073
|
1
|
36
|
14930352
|
9
|
48
|
4807526976
|
9
|
Análisis de resultados:
Ø La sucesión de Fibonacci se repite en ciclos cada 24
números
Ø La raíz digital de la doceava posición siempre es 9
Ø Cada cuarto dígito es múltiplo de 3
Ø Después de cada 9 viene un dígito repetido, que es el
complementario del que sigue al próximo 9.
Ø El ciclo iterativo de 24 números es:
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 8, 1, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9}
Ahora súmese término a término el ciclo de 24 números en dos bloques
de 12 y obsérvese que todos suman 9 con su complementario en imagen especular.
1 1 2
3 5 8 4 3
7 8 1 9
8 8
7 6 4
1 5 6
2 1 8 9
9 9 9
9 9 9 9 9
9 9 9 9
BUCLES O CICLOS ITERATIVOS EN LAS ÚLTIMAS CIFRAS DE LA
SUCESIÓN DE FIBONACCI
Según el portal web del profesor Ron Knott de la Universidad de Surrey
en Reino Unido: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html#patt, también existen ciclos iterativos o bucles áureos según
las últimas cifras de cada término de la sucesión de Fibonacci y son los
siguientes:
Ø La última cifra se repite en ciclos de cada 60 números
Ø Las 2 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 300
números
Ø Las 3 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 1500
números
Ø Las 4 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 15,000
números
Ø Las 5 últimas cifras se repiten en ciclos de cada 150,000
números
4 NUEVAS IDENTIDADES CÍCLICAS
ANGULARES ÁUREAS PRIMAS
Ahora veamos lo nuevo, la existencia de 4 identidades generales nuevas
que surgen al establecer las igualdades entre las dos fórmulas generales que ya
publiqué y patenté en artículos anteriores. Estas ecuaciones son las funciones
trigonométricas seno para los primos p>5 y coseno para los doceavos números de Fibonacci que producen como
imagen única al número áureo y se agrupan en las mismas 4 familias angulares
para los dos conjuntos.
Llegados a este punto, voy a exponer brevemente la importancia del
módulo 90, que nos permite agrupar al conjunto P de los números primos p>5
en 4 familias áureas con imágenes únicas. Además, para determinar la última
cifra de cualquier número en base 10, aplíquese el módulo 10 y así el residuo de
la congruencia será igual a la última cifra del número entero dado.
(i.e.): 911 ≡ 1 (mód 10)
Dato curioso:
18°+36°+54°+72°=
180°
Sin 18° +
Cos 36° + Sin 54° + Cos 72° = Root 5
Proposición 1.1: Existen 4 familias áureas que
agrupan a los números primos p>5 según la última cifra (1, 3, 7, 9) de cada
primo mediante 4 imágenes únicas angulares (18°, 36°, 54°, 72°) para cada
familia, que surgen al aplicar el módulo 90 al argumento de la función seno en
cuya imagen es el número áureo.
Dada la ecuación original:
F(p) = 2 sin
[ 2p-1 (10p-1 -1)]°
Ahora aplíquese
el módulo 90 al argumento de dicha función:
[ 2p-1
(10p-1 -1)] mód 90
Dicho
argumento corresponde al doble del periodo decimal recíproco 1/p de los números
primos mayores que 5. Estos periodos decimales tienen como característica
principal que son congruentes 0 mód 9 y la suma de sus cifras en bloques pares
da cadenas cíclicas de nueves según el Teorema de Midy.
Las 4
familias áureas para los primos p>5 son:
v FAMILIA
DEL 18°: todos los primos cuya última cifra es 1.
v FAMILIA
DEL 36°: todos los primos cuya última cifra es 3.
v FAMILIA
DEL 54°: todos los primos cuya última cifra es 7.
v FAMILIA
DEL 72°: todos los primos cuya última cifra es 9.
Ejemplos de
cada una:
Proposición
1.2: Existen 4 familias áureas que agrupan a los números de Fibonacci
ubicados en las doceavas posiciones ordinales de la sucesión F12k según la última cifra par (2, 4, 6, 8) de
cada uno y con imágenes únicas angulares (18°, 36°, 54°, 72°) para cada familia,
que surgen al aplicar el módulo 90 al argumento de la función coseno en cuya
imagen es el número áureo.
Dada la ecuación original:
F(k)= 2 Cos [F12k]= 2 Cos [Round(ϕ12k/
]°
Ahora
aplíquese el módulo 90 al argumento de dicha función:
[ Round (ϕ12k/
] mód
90
Dicho argumento corresponde a las doceavas
posiciones ordinales F12k de
la sucesión de Fibonacci que como ya vimos, también son congruentes 0 mód 9.
Razón por la cual, dentro de la función coseno se obtiene como imagen única al
número áureo.
Las 4 familias
áureas para los doceavos números de Fibonacci son:
v FAMILIA
DEL 54°: todos los F12k cuya última cifra es 2.
v FAMILIA
DEL 18°: todos los F12k cuya última cifra es 4.
v FAMILIA
DEL 72°: todos los F12k cuya última cifra es 6.
v FAMILIA
DEL 36°: todos los F12k cuya última cifra es 8.
Ejemplos de
cada una:
A partir de
estos resultados concretos, voy a exponer finalmente las 4 nuevas identidades
cíclicas que vinculan directamente a las 4 familias de primos con las 4
familias de fibonacci’s (ordinales 12k, excepto aquellos que también sean
múltiplos de 5).
IDENTIDAD
GENERAL DE BUCLES ÁUREOS DE PRIMALIDAD.
[
2p-1 (10p-1 -1)] mód 90 = [ Round (ϕ12k/
] mód 90
Ahora aquí lo interesante es saber, que esta igualdad modular
es algebraicamente exacta para ciertos valores únicos de la última cifra de
cada número primo y de cada doceavo ordinal de Fibonacci. También, que empareja
los números pares con los números impares de la siguiente manera.
Proposición 1.3: Sea p un
número primo p>5 y su última cifra solo puede ser impar (1,3,7,9) por ser un
número primo. Entonces, existen imágenes angulares (18,36,54,72) únicas que
comparten con los doceavos ordinales de Fibonacci cuya última cifra es
par(2,4,6,8) de la siguiente manera y surgiendo 4 identidades cíclicas áureas
primas:
v Los
primos terminados en 1 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k
terminados en 4 y su imagen única angular es 18°
v Los
primos terminados en 3 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k
terminados en 8 y su imagen única angular es 36°
v Los
primos terminados en 7 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k
terminados en 2 y su imagen única angular es 54°
v Los
primos terminados en 9 se relacionan con los ordinales Fibonacci F12k
terminados en 6 y su imagen única angular es 72°
Ejemplos en
Wolframalpha:
v P1 ↔ F4 {18°}
v P3 ↔ F8 {36°}
v P7 ↔ F2 {54°}
v P9 ↔ F6 {72°}
Análisis de resultados:
Existen dos teoremas en la Teoría de Números sobre
congruencias módulo n que nos ayudan a comprender mejor estas 4 nuevas
identidades que vinculan al conjunto P de los primos con el conjunto F de las
doceavas posiciones ordinales de Fibonacci.
Teorema 1: Dos enteros a y b son
congruentes modulo n si y solo si tienen el mismo residuo al dividirlos por n.
Teorema 2: La
congruencia módulo n es una relación de equivalencia sobre Z.
REFERENCIAS
DE 4 NUEVAS IDENTIDADES MODULARES CÍCLICAS ÁUREAS PRIMAS Y SUS 4 FAMILIAS ANGULARES ÚNICAS por Javier Grisales Herrera se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.
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