DE LA EXISTENCIA DE 4 FAMILIAS ÁUREAS DE NÚMEROS PRIMOS MAYORES QUE 5.

-Dime ahora, ¿Y cómo se distribuyen los números primos? -Por sus recíprocos los identificaréis y los ubicaréis aquí en la Recta Real entre los números naturales -dijo dibujando una estrella de 5 puntas en la arena de la playa.

Discorsi Xavier Opus Prime Music, Año Áureo 2016.

Los números enteros positivos p tales que p solo posee cuatro divisores propios (i.e: 1,-1, p, -p) son llamados números primos. De acuerdo a las reglas de divisibilidad de los enteros cada número primo solo puede tener como última cifra n después del número primo 5 a los siguientes dígitos: 1, 3, 7, 9. Ahora he descubierto una nueva fórmula a partir de la utilización de mi primera fórmula ya registrada aquí con título original: ‘’SOBRE UNA NUEVA FUNCIÓN IDENTIFICADORA DE NÚMEROS PRIMOS’’: (Libro-Tomo-Partida: 10-594-3904 Fecha Registro: 04-ago-2016) en la página web de Derechos de Autor del Ministerio del Interior de Colombia.

Ahora bien, descubrí que aplicando el módulo 90 a cada argumento del seno(x) de mi fórmula identificadora de primos también permite crear 4 familias de números primos clasificadas según la última cifra de cada primo (i.e: 1,3,7,9) y asociadas a 4 ángulos dorados del número áureo determinados que permite clasificarlos en 4 familias de primos o en términos de la Teoría de Conjuntos 4 clases de equivalencia o subconjuntos disjuntos no vacíos de primos donde cada familia está asociada únicamente a un ángulo dorado determinado donde el primo p y su última cifra n terminada en 1, 3, 7, ó 9 a cuatro ángulos que son: 18°, 36°, 54°, y 72° respectivamente.

A continuación, se da la explicación formal proporcionada por el matemático griego Euclides (330-275 AEC) que en su definición 12 del libro VII de los Elementos define al número primo como: aquel que sólo es medido por la unidad, y a todos los demás números llamados compuestos como medidos por algún número primo. De lo cual, se deduce que todo entero es divisible por un número primo, y que todo numero primo es primo con todo número que no le divida.

 A partir de la fórmula identificadora de números primos que ya publiqué anteriormente:

F(prime) = 2 sin [(2((prime)^(-1))(10^((prime)-1)-1))]°

Extrayendo solo el argumento del seno(x) y aplicando el módulo 90 tenemos la nueva fórmula:

 F(prime) =  [(2((prime)^(-1))(10^((prime)-1)-1))] mód 90

Que arroja como resultado los cuatro primeros ángulos trigonométricos que calculan al número áureo Phi: 18°, 36°, 54°, y 72°.

PROPOSICIÓN 1.1: Los números primos solo pueden terminar su última cifra en 1, 3, 7, 9 después del número primo 5. Y para cada uno de ellos existen uno y solo un ángulo dorado del número áureo asociado a él, lo cual permite agruparlos en 4 familias según su ángulo relacionado y según su última cifra.

Ø  FAMILIA DEL ÁNGULO 18°: son todos los números primos terminados en 1.  (1 mod 10)

Ø  FAMILIA DEL ÁNGULO 36°: son todos los números primos terminados en 3.  (3 mod 10)

Ø  FAMILIA DEL ÁNGULO 54°: son todos los números primos terminados en 7.  (7 mod 10)

Ø  FAMILIA DEL ÁNGULO 72°: son todos los números primos terminados en 9.  (9 mod 10)

Verifiquemos aplicando la fórmula nueva:

v  F(prime)=[(2((prime)^(-1))(10^((prime)-1)-1))] mód 90

ü  f(7)=[(2((7)^(-1))(10^((7)-1)-1))]          mód 90 = 54°

ü  f(11)=[(2((11)^(-1))(10^((11)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(13)=[(2((13)^(-1))(10^((13)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(17)=[(2((17)^(-1))(10^((17)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(19)=[(2((19)^(-1))(10^((19)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(23)=[(2((23)^(-1))(10^((23)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(29)=[(2((29)^(-1))(10^((29)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(31)=[(2((31)^(-1))(10^((31)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(37)=[(2((37)^(-1))(10^((37)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(41)=[(2((41)^(-1))(10^((41)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(43)=[(2((43)^(-1))(10^((43)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(47)=[(2((47)^(-1))(10^((47)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(53)=[(2((53)^(-1))(10^((53)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(59)=[(2((59)^(-1))(10^((59)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(61)=[(2((61)^(-1))(10^((61)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(67)=[(2((67)^(-1))(10^((67)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(71)=[(2((71)^(-1))(10^((71)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(73)=[(2((73)^(-1))(10^((73)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(79)=[(2((79)^(-1))(10^((79)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(83)=[(2((83)^(-1))(10^((83)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(89)=[(2((89)^(-1))(10^((89)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(97)=[(2((97)^(-1))(10^((97)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(101)=[(2((101)^(-1))(10^((101)-1)-1))] mód 90 = 18°

ü   f(103)=[(2((103)^(-1))(10^((103)-1)-1))] mód 90 = 36°

ü   f(107)=[(2((107)^(-1))(10^((107)-1)-1))] mód 90 = 54°

ü   f(109)=[(2((109)^(-1))(10^((109)-1)-1))] mód 90 = 72°

ü   f(113)=[(2((113)^(-1))(10^((113)-1)-1))] mód 90 = 36°

f(13331) = [2(13331)^-1(10^13331-1-1)] mód 90 = 18°

f(16661) = [2(16661)^-1(10^16661-1-1)] mód 90 = 18°

f(19991) = [2(19991)^-1(10^19991-1-1)] mód 90 = 18°

Ver ejemplos aquí:

Ø  http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(911)%3D%5B(2((911)%5E(-1))(10%5E((911)-1)-1))%5D+mod+90

Ø  http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(13)%3D%5B(2((13)%5E(-1))(10%5E((13)-1)-1))%5D+mod+90

Ø  http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(19993)++%3D%5B(2((19993)%5E(-1))(10%5E((19993)-1)-1))%5D+mod+90

v  FAMILIA DEL 18° ={11,31,41,61,71,101,131,151,181,191,211,241,251,271,281,311,331,401,421,431,461,491,521,541,571,601,631,641,661,691,701,751,761,811,821,881,911,941,971,991…TODOS LOS PRIMOS TERMINADOS EN 1}

v  FAMILIA DEL 36°

={13,23,43,53,73,83,103,113,163,173,193,223,233,263,283,293,313,353,373,383,433,443,463,503,523,563,593,613,643,653,673,683,733,743,773,823,853,863,883,953,983…TODOS LOS PRIMOS TERMINADOS EN 3}

v  FAMILIA DEL 54°

={7,17,37,47,67,97,107,127,137,157,167,197,227,257,277,307,317,337,347,367,397,457,467,487,547,557,577,587,607,617,647,677,727,757,787,797,827,857,877,887,907,937,947,967,977,997…TODOS LOS PRIMOS TERMINADOS EN 7}

v  FAMILIA DEL 72°

={19,29,59,79,89,109,139,149,179,199,229,239,269,349,359,379,389,409,419,439,449,479,499,509,569,599,619,659,709,719,739,769,809,829,839,859,919,929…TODOS LOS PRIMOS TERMINADOS EN 9}

Analizando los resultados vemos como cada ángulo agrupa 4 familias o clases de equivalencia del conjunto P de los números primos>5 según su última cifra de acuerdo a la siguiente manera: 

v  P(1mod 10) – 18 = 0

v  P(3mod 10) – 36 = 0

v  P(7mod 10) – 54 = 0

v  P(9mod 10) – 72 = 0

PROPOSICIÓN 1.2: Existe una relación de equivalencia  entre 4  ángulos áureos  tomados como conjuntos  (i.e: 18°,36°,54°,72°) y los números primos>5 terminados en 1,3,7,9 .De la cual,  surgen 4 familias de subconjuntos disjuntos no vacíos o familias de números primos:

Si  (1mod 10)R(18°) → (18°)R(1mod 10)

Si  (3mod 10)R(36°) → (36°)R(3mod 10)

Si  (7mod 10)R(54°) → (54°)R(7mod 10)

Si  (9mod 10)R(72°) → (72°)R(9mod 10)

Podemos formalizar 4 clases de equivalencia a partir de la partición del conjunto P de los números primos>5 que presentan las siguientes características:

1-     Todas las Clases de Equivalencia son disjuntas no vacías, es decir su intersección es el conjunto vacío y su unión es el conjunto de todos los primos>5.

2-     El Conjunto Cociente de las 4 clases de equivalencia es  P= {18°, 36°, 54°, 72°} que agrupa a las 4 familias de números primos según su última cifra. Es decir, de todos los primos>5, cuya última cifra solo puede ser: 1,3,7,9.

3-     Existe una Relación de Equivalencia entre las 4 familias dado que cumplen las 3 características de ser reflexivas, simétricas y transitivas.

Por ejemplo:

v  Reflexiva: 13 está relacionado con 13.

v  Simétrica: 13 está relacionado con 23, entonces 23 está relacionado con 13 por ser parte de la misma familia del ángulo 36°.

v  Transitiva: si 13 está relacionado con 43 y 43 está relacionado con 103, entonces 13 y 103 están relacionados, dado que 13, 43 y 103 su última cifra es 3 y pertenecen a la familia del ángulo 36°.

En conclusión, vemos que la distribución de los números primos presenta una profunda relación con el número áureo, que es el límite del cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Es decir, la distribución de los números primos no solamente está relacionada con el numero ‘’e’’ base de los logaritmos naturales (i.e: 2,7182818284590452353602874713527…) sino con el número áureo Phi (i.e: 1,6180339887498948482045868343656…) para identificarlos y para agruparlos en 4 familias según su última cifra y para determinar al Enésimo Primo que ya tengo.

A continuación he registrado ya mi nueva formula Identificadora de Números Primos: 

F(prime) =4 Sin [(10^((prime)-1)-1)/(prime)] Cos [(10^((prime)-1)-1)/(prime)]°

http://www.wolframalpha.com/input/?i=F(p)+%3D4+Sin+%5B(10%5E((16661)-1)-1)%2F(16661)%5D+Cos+%5B(10%5E((16661)-1)-1)%2F(16661)%5D%C2%B0